ความน่าจะเป็นและสถิติ: วิทยาศาสตร์แห่งความไม่แน่นอน: การวัดความไม่แน่นอน: ฟังก์ชันตัวแปรสุ่ม

ในเซสชันนี้ เราจะเปลี่ยนจากอธิบายผลลัพธ์แบบคุณภาพไปสู่กรอบเชิงปริมาณที่เข้มงวดมากขึ้น เราจะนิยามตัวแปรสุ่มไม่ใช่ในฐานะ "ตัวแปร" ในเชิงพีชคณิต แต่เป็นการจับคู่แบบแน่นอน—ฟังก์ชัน—ที่แปลงองค์ประกอบของพื้นที่ตัวอย่างให้กลายเป็นเส้นจำนวนจริง

นิยามเชิงฟังก์ชัน (นิยาม 2.1.1)

ตัวแปรสุ่ม $X$ คือฟังก์ชัน $X: S \to R^1$ ที่กำหนดจำนวนจริง $X(s)$ ให้กับแต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ $s$ ในพื้นที่ตัวอย่าง $S$ ดู รูปที่ 2.1.1 เพื่อดูการจับคู่เชิงภาพของกระบวนการนี้

ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ ($I_A$)

เพื่อเชื่อมโยงทฤษฎีเซตและเลขคณิต เราจะนิยามฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของเหตุการณ์ $A$:

$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$

สิ่งนี้เปลี่ยนการเกิดเหตุการณ์ให้กลายเป็นสัญญาณเชิงตัวเลขสองค่า

การนิยามการแจกแจง (นิยาม 2.2.1)

การแจกแจงของ $X$ คือชุดของความน่าจะเป็น $P(X \in B)$ สำหรับเซตย่อย $B \subseteq R^1$ โดยที่จริงแล้ว ต้องการให้ $B$ เป็น เซตบอร์เอลซึ่งเป็นข้อจำกัดเชิงเทคนิคจากทฤษฎีการวัด อย่างไรก็ตาม เซตใด ๆ ที่เราสามารถนิยามได้จริง ๆ ก็ถือว่าเป็นเซตบอร์เอล

ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของความน่าจะเป็น

เพื่อให้ฟังก์ชันของเราทำงานได้อย่างคาดเดาได้ในบริบทที่ไม่สิ้นสุด เราอาศัยหลักการที่ตั้งไว้ในทฤษฎีบท 1.3.4 และ 1.6.1:

การรวมแบบนับได้ (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$ โดยที่ $B_n$ เป็นเวอร์ชันที่ไม่ทับซ้อนกันของ $A_n$
ความต่อเนื่องของความน่าจะเป็น (1.7.2): หากลำดับเหตุการณ์ $\{A_n\} \nearrow A$ แล้ว $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.3.4

เราต้องการพิสูจน์ว่าสำหรับลำดับเหตุการณ์ใด ๆ $A_1, A_2, \dots$ (ไม่จำเป็นต้องไม่ทับซ้อนกัน):

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$

สิ่งนี้เรียกว่า กฎของบูล ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญในการจำกัดความน่าจะเป็นในระบบซับซ้อน

บริบททางประวัติศาสตร์

คำว่า "ตัวแปรสุ่ม" ถูกเลือกแทนที่คำว่า "ตัวแปรโอกาส" โดย โจ ดูบ และ วิลเลียม เฟลเลอร์ ผ่านการโยนเหรียญในช่วงต้นปี 1950 แม้ว่าทางเทคนิคแล้วมันจะเป็นฟังก์ชัน แต่ชื่อ "ตัวแปร" ก็ยังคงอยู่เพราะเป็นเครื่องหมายทางประวัติศาสตร์จากเหตุการณ์โยนเหรียญครั้งนั้น

คำถามที่ 1

ให้ $S = {1, 2, 3, \dots}$ และให้ $X(s) = s^2$ และ $Y(s) = 1/s$ สำหรับ $s \in S$ ปริมาณเหล่านี้มีอยู่จริงเป็นตัวแปรสุ่มหรือไม่?

ใช่ เพราะพวกมันเป็นฟังก์ชันที่จับคู่แต่ละ $s$ ไปยังจำนวนจริง

ไม่ใช่ เพราะ $S$ เป็นเซตที่ไม่สิ้นสุด

เฉพาะ $X$ เท่านั้นที่มีอยู่; $Y$ เป็นเศษส่วน จึงไม่ใช่ตัวแปร

ไม่มีใครเลย เพราะช่วงค่าของพวกมันไม่ใช่เซตบอร์เอล

คำถามที่ 2

พิจารณาการปล่อยลูกเต๋าหกด้านที่เที่ยงตรง ($S = {1,2,3,4,5,6}$) ให้ $X(s) = s$ ให้ $Y = X^2$ ความน่าจะเป็น $P(Y \le 10)$ คือเท่าใด?

$1/2$

$1/6$

$3/6$

$10/36$

คำถามที่ 3

นักคณิตศาสตร์คนไหนชนะการโยนเหรียญที่ตัดสินชื่อ 'ตัวแปรสุ่ม' แทนที่จะเป็น 'ตัวแปรโอกาส'?

โจ ดูบ และ วิลเลียม เฟลเลอร์ (ตัวแปรสุ่มชนะ)

โคลโมโกรอฟ (ตัวแปรสโตแคสติกชนะ)

ทอมัส เบย์ส (ตัวแปรพรีออรีชนะ)

ปีแอร์-ซีมอน ลาปลาส (ตัวแปรโอกาสชนะ)

คำถามที่ 4

บทบาทหลักของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ $I_A$ คืออะไร?

เพื่อทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างทฤษฎีเซต (เหตุการณ์) กับพีชคณิต

เพื่อพิสูจน์ว่าเซตนั้นเป็นเซตบอร์เอล

เพื่อคำนวณอนุพันธ์ของการแจกแจง

เพื่อกำหนดว่าพื้นที่ตัวอย่างเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่

คำถามที่ 5

ตามทฤษฎีบท 1.6.1 (ความต่อเนื่องของความน่าจะเป็น) หากเรามีลำดับเหตุการณ์ที่ $A_n \nearrow A$ เราจะสรุปอะไรเกี่ยวกับลิมิตได้บ้าง?

ลิมิต $P(A_n) = P(A)$

ลิมิต $P(A_n) = 1$

ความน่าจะเป็นของ $A$ ต้องเป็น 0

ลิมิตไม่มีอยู่สำหรับตัวแปรที่ไม่จำกัด

ท้าทาย: การจับคู่ตัวแปรขั้นสูงและการจำลอง

การวัดความไม่แน่นอนแบบไม่ต่อเนื่องและซับซ้อน

ในท้าทายนี้ เราสำรวจการเปลี่ยนผ่านจากผลการปล่อยลูกเต๋าแบบดิบไปสู่การแจกแจงร่วมซับซ้อนและวิธีการตัดออก (rejection sampling) สมมุติว่าเรากำลังทำงานภายใต้กรอบของการแจกแจงไฮเปอร์เจโอเมตริกทั่วไป และวิธีการแปลงกลับ / การตัดออกสำหรับการจำลอง

คำถามที่ 1

พิจารณาการปล่อยลูกเต๋าหกด้านที่เที่ยงตรงสองลูก ให้ $Y$ เป็นผลรวมของจำนวนที่ปรากฏ จงระบุพื้นที่ตัวอย่าง $S$ และนิยามฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับ $Y$

วิธีทำ: $S$ ประกอบด้วยคู่ลำดับ 36 คู่ $(d_1, d_2)$ $Y$ จับคู่ค่าเหล่านี้ไปยังช่วง $\{2, 3, ..., 12\}$ ฟังก์ชันความน่าจะเป็น $P(Y=y)$ คือ:
P(2)=1/36, P(3)=2/36, P(4)=3/36, P(5)=4/36, P(6)=5/36, P(7)=6/36, P(8)=5/36, P(9)=4/36, P(10)=3/36, P(11)=2/36, P(12)=1/36

คำถามที่ 2

2.3.29: เซตหนึ่งมี $N$ วัตถุ $M_1$ ตัวมีฉลาก 1, $M_2$ ตัวมีฉลาก 2 และที่เหลือมีฉลาก 3 หากสุ่มตัวอย่าง $n$ วัตถุโดยไม่ใส่กลับ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวน $(f_1, f_2, f_3)$

วิธีทำ: สูตรนี้เป็นไปตามสูตรไฮเปอร์เจโอเมตริกทั่วไป:
$$P(f_1, f_2, f_3) = \frac{\binom{M_1}{f_1}\binom{M_2}{f_2}\binom{N-M_1-M_2}{f_3}}{\binom{N}{n}}$$
โดยที่ $f_1 + f_2 + f_3 = n$

คำถามที่ 3

2.10.21 (การสุ่มตัดออก): ให้ความหนาแน่นที่ซับซ้อน $f$ และความหนาแน่นที่ง่ายกว่า $g$ โดยที่ $f(x) \le cg(x)$ พิสูจน์ว่า $P(a \le Y \le b | f(Y) \ge Ucg(Y)) = \int_a^b f(x) dx$

การพิสูจน์: ให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ที่ $U \le f(Y)/(cg(Y))$
ตามนิยามของความน่าจะเป็นเงื่อนไข: $P(a \le Y \le b | E) = \frac{P(a \le Y \le b, E)}{P(E)}$
ตัวเศษคือ $\int_a^b \int_0^{f(y)/cg(y)} \frac{1}{c} g(y) du dy = \frac{1}{c} \int_a^b f(y) dy$
ตัวหาร $P(E) = 1/c$ ดังนั้น นิพจน์นี้ลดรูปเป็น $\int_a^b f(y) dy$